Καθηγητής Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας
Δημήτρης Καραγιάννης
Μαθηματικός, Διευθυντής Μανουσάκειου (1ου) Επαγγελματικού Λυκείου Δεσκάτης
Το δυνητικό & πραγματικό άπειρο στην ιστορία των μαθηματικών & η κατανόησή τους από τον άνθρωπο
Η κατανόηση του απείρου συνδέεται με δύο διαφορετικές έννοιες, την έννοια του δυνητικού απείρου και την έννοια του πραγματικού απείρου (Dubinsky, Weller, McDonald & Brown, 2005; Fischbein, Tirosh & Hess, 1979; Tall, 2001). Το δυνητικό άπειρο εκφράζει μια συνεχιζόμενη διαδικασία χωρίς τέλος, όπως είναι για παράδειγμα η καταμέτρηση των φυσικών αριθμών 1, 2, 3, … . Είναι μια άπειρη διαδικασία όπου δεν μπορεί να προσδιοριστεί ούτε το τέλος ούτε ο τελευταίος όρος. Η έννοια του πραγματικού άπειρου από την άλλη αποδίδει μια πεπερασμένη οντότητα σε αυτή την άπειρη διαδικασία. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι το πραγματικό άπειρο ορίζει την κατάσταση στο άπειρο, ενώ το δυνητικό άπειρο ορίζει τη διαδικασία που δημιουργεί την απειρία. Στην ιστορία της ανθρωπότητας και των μαθηματικών αυτές οι δύο μορφές του απείρου προσδιορίστηκαν από τον Αριστοτέλη. Αυτός ο προσδιορισμός κέρδισε τόσο μεγάλη αναγνώριση ώστε παρέμεινε ουσιαστικά αμετάβλητος μέχρι τα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα.
Ο Αριστοτέλης θεώρησε ότι το πραγματικό άπειρο είναι ακατανόητο επειδή η υποκείμενη διαδικασία μιας τέτοιας πραγματικότητας θα απαιτούσε το σύνολο του χρόνου (Dubinsky et al., 2005). Είναι αδύνατο να συλλάβουμε το άπειρο ως ολοκληρωμένη ολότητα, διότι δεν μπορεί κανείς να σκεφτεί μια συλλογή στο σύνολό της χωρίς να θεωρεί καθένα από τα στοιχεία της, δηλαδή χωρίς τη φυσική ή διανοητική εκτέλεση κάθε βήματος.
Από τον Bolzano (1781–1848) και μετά αρχίζει ουσιαστικά η αποδοχή του πραγματικού απείρου. O Georg Cantor (1915) όμως θέτει τα θεμέλια για την αποδοχή του πραγματικού απείρου πέρα από τις διαισθητικές εξηγήσεις και αποδίδει σε αυτό έναν μαθηματικό ορισμό.
Οι έρευνες που εξετάζουν την κατανόηση του απείρου (π.χ. Fischbein, et al. 1979, Monaghan, 2001, Kolar, Cadez, 2012) δείχνουν ότι υπάρχουν κάποιες παραλληλίες μεταξύ της ιστορικής ανάπτυξης και της ανάπτυξης της κατανόησης του άπειρου. Φαίνεται ότι η ανάπτυξη του δυνητικού άπειρου είναι ένας προκάτοχος της ανάπτυξης του πραγματικού άπειρου. Τα προβλήματα που προκύπτουν από την ανομοιογένεια μεταξύ πραγματικού και δυνητικού άπειρου – τα προβλήματα που υπήρχαν από την εποχή του Αριστοτέλη – εξακολουθούν να ισχύουν και σήμερα, τόσο για τους μαθητές όσο και για τους εκπαιδευτικούς.
Cantor, G. (1915). Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers (P. E. B. Jourdain, Trans.). New York: Dover (Original work published 1895).
Dubinsky, E., Weller, K., Mcdonald, M. A., & Brown, A. (2005). Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: An Apos-Based analysis: Part 1. Educational studies in mathematics, 58(3), 335-359.
Fischbein, E., Tirosh, D., & Hess, P. (1979). The intuition of infinity. Educational Studies in Mathematics, 10, 3–40.
Kolar VM, Cadez TH. (2012). Analysis of factors influencing the understanding of the concept of infinity. Educational Studies in Mathematics, 80(3):389–412.
Monaghan, J. (2001). Young peoples’ ideas of infinity. Educational Studies in Mathematics, 48(2-3), 239-257.
Tall, D. (2001). Natural and formal infinities. Educational Studies in Mathematics, 48, 199-238.